چرا محاسبه عدد پی اهمیت دارد؟

عدد پی یکی از عجیب‌ترین و کاربردی‌ترین ثابت‌های ریاضی است که هر از گاهی توجه دانشمندان را به خود جلب می‌کند. گوگل کلود در اکتبر ۲۰۲۱ فرآیند جدید محاسبه ارقام عدد پی را آغاز کرد و پس از ۱۵۷ روز توانست عدد پی را تا ۱۰۰ تریلیون رقم محاسبه کند. این یعنی 37.21 میلیارد رقم جدید به عدد pi اضافه شد.

 ثابت ریاضی پی (π) نسبت محیط دایره به قطر آن است و تقریباً ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۶ است. فقط با این ده رقم اعشار، می‌توان محیط زمین را با دقت کمتر از یک میلی‌متر محاسبه کرد. مهندسان ناسا با ۱۵ رقم اعشار برای محاسبات مربوط به ارسال فضاپیما استفاده می‌کنند. با ۳۲ رقم اعشار، می‌‌توان محیط کهکشان راه شیری را با دقت عرض یک اتم هیدروژن محاسبه کرد و جالب‌تر این که تنها با ۶۵ رقم اعشار، اندازه جهان قابل مشاهده را در طول پلانک خواهیم دانست. (کوتاه‌ترین فاصله قابل اندازه‌گیری ممکن)

پس ۱۰۰ تریلیون ارقام دیگر در عدد پی، چه فایده‌ای دارند؟ در حالی که پاسخ کوتاه این است که آنها به هیچ وجه از نظر علمی مفید نیستند، ریاضیدانان و دانشمندان کامپیوتر به دلایل مختلف مشتاقانه منتظر جزئیات این محاسبه عظیم خواهند بود.

چه چیزی پی را اینقدر جذاب می‌کند؟

مفهوم پی برای درک یک دانش‌آموز دبستانی به اندازه کافی ساده است، اما محاسبۀ ارقام آن بسیار دشوار است. عددی مانند ۱/۷ برای نوشتن به بی‌نهایت اعشار نیاز دارد – ۰٫۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵۷۱… – اما اعداد هر شش مکان تکرار می‌شوند و درک آن را آسان می‌کنند. از سوی دیگر، پی مثالی از یک عدد گنگ است که در آن هیچ الگوی تکراری وجود ندارد. پی نه تنها گنگ است، بلکه ماورایی نیز هست، به این معنی که نمی‌توان آن را از طریق هیچ معادله ساده‌ای که دارای اعداد کامل باشد تعریف کرد.

ریاضیدانان در سراسر جهان از زمان‌های قدیم محاسبه پی را انجام داده‌اند، اما تکنیک‌های انجام این کار پس از قرن هفدهم، با توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال و تکنیک‌های سری‌های بی‌نهایت، به طور چشمگیری تغییر کرد. به عنوان مثال، مجموعه ماداوا (به نام ریاضی‌‌دان هندومادهاوا از سانگاماگراما) می‌‌گوید:

(۱- ۱/۳ + ۱/۵ -۱/۷ + ۱/۹ – ۱/۱۱ + …)  π = ۴

با افزودن عبارات بیشتر و بیشتر، این محاسبات به مقدار واقعی pi نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. اما زمان زیادی طول می‌کشد – طوری که پس از ۵۰۰ هزار عبارت، تنها پنج رقم اعشار صحیح پی را تولید می‌شود!

 

کامپیوترهای گوگل در زمان ثبت رکورد جدید حدود ۸۲ هزار ترابایت داده را پردازش کردند. در حالی که شکستن رکورد ممکن است یکی از محرک‌های کلیدی برای یافتن ارقام جدید پی باشد، دو مزیت مهم دیگر نیز وجود دارد.

اولین مورد توسعه و آزمایش ابر کامپیوترها و الگوریتم‌های ضرب با دقت بالا است. بهینه‌‌سازی محاسبه pi منجر به تولید سخت‌ افزار و نرم‌ افزار کامپیوتری می‌‌شود که برای بسیاری از حوزه‌‌های دیگر در زندگی ما – از پیش‌بینی دقیق آب‌ و هوا گرفته تا توالی‌یابی DNA – مفید و کاربردی خواهد بود.

همچنین این کاوش‌ها به ماهیت عدد pi پی خواهد برد. با وجود قرن‌ها تحقیق، هنوز سؤالات بی ‌پاسخ اساسی در مورد نحوۀ رفتار ارقام آن وجود دارد. به عنوان مثال، ما انتظار داریم که رقم ۳ به اندازۀ رقم ۸ ظاهر شود و رشته رقمی “۱۲۳۴۵” به اندازه “۹۹۹۹۹” ظاهر شود. اما نمی‌دانیم که آیا هر رقم اعشاری بی‌نهایت در عدد پی ظاهر می‌شود یا خیر، چه برسد به اینکه آیا الگوهای پیچیده‌تری در این زمینه وجود دارد یا خیر.

یکی از شگفتی‌های عدد پی، «گنگ‌» بودن آن است، یعنی نمی‌توان آن را به‌صورت کسری ساده با اعداد صحیح بیان کرد. دلیلش هم این است که پی طبق توصیف ریاضی‌دانان «اعشار بی‌نهایت» است؛ یعنی ارقام بعد از ممیز تا ابد ادامه خواهند یافت و به هیچ رقمی ختم نمی‌شوند. تنها در یک صورت می‌توانیم «همه ارقام عدد پی را بدانیم» که ناگهان معلوم شود که آنها تمام شده یا تکرار شوند.

این امر نشان می‌دهد که پی یک عدد «گویا» است، که با چندین مورد از اساسی‌ترین مفاهیم پشتیبان که تمام ریاضیات بر اساس آنها ساخته شده‌اند، در تضاد است. به همین دلیل دانشمندان تا 100 تریلیون رقم عدد پی را محاسبه کردند و احتمالا محاسبۀ ارقام پی هرگز به پایان نخواهد رسید– در واقع همیشه چیزهای بیشتری برای یافتن و ثبت رکوردی جدید وجود دارد. اگر به این مبحث علاقه دارید می‌توانید نحوه محاسبۀ اعداد گویا نظیر √۳ (فقط تا ۱۰ میلیارد رقم شناخته شده)، ثابت تربوناچی (۲۰۰۰۰ رقم) یا Twin Prime Constant (1001 رقم) را بررسی کنید. محاسبۀ همه این عددها به اندازه عدد پی جالب و هیجان‌انگیز است.

 

منابع:

سایت علمی بیگ بنگ /  geeksforgeeks.org / interestingengineering.com /theconversation.com